Математические строи

§ 1. Математическим строем называется совокупность частотных отношений между звуками в музыкальной системе. Введение в музыкальную практику многоголосных инструментов с фиксированной частотой звуков (орган и др.) заставило композиторов и исполнителей заинтересоваться количественной стороной музыкальных систем. К этому времени в науке был известен целый ряд звуковых строев, разработанных китайскими, персидскими, индийскими, арабскими и греческими учеными, в основе которых лежали самые разнообразные математические принципы отбора звуков и которые пытались объяснить соотношения между звуками в произведениях народного музыкального творчества.

Мы считаем излишним останавливаться на рассмотрении китайских, персидских, арабских и индийских звуковых строев, так как эти строи не оказали непосредственного влияния на европейскую музыку, а начнем с изучения строя, разработанного древнегреческими учеными и известного под именем «строя Пифагора».

Древнегреческим ученым было известно, что на монохорде[2] можно получить звуки не только путем возбуждения целой струны, но и ее частей: 1/2, 2/3 и 3/4, и что звуки, полученные путем возбуждения указанных частей струны, образуют с ее основным тоном интервалы октавы - 1/2 струны, квинты - 2/3 струны и кварты - 3/4 струны (по современной терминологии).

Эти интервалы, найденные опытным путем и получившие, по преданию, применение при настройке лиры Орфея, стали основными интервалами пифагорова строя. Остальные интервалы этого строя были найдены последователями Пифагора посредством вычислений. Трудно сказать, какие причины заставили указанных ученых отказаться от дальнейших делений струны на части в целях получения новых интервалов, известно лишь, что формирование пифагорова строя осуществлялось не опытным, а математическим путем. Этот путь был основан на следующих соображениях: так как 2/3 целой струны дают звук квинтой выше ее основного тона, а 3/4 целой струны - звук квартой выше того же тона, то 2/3 любой части струны должны дать звук квинтой выше этой части, а 3/4 любой части струны - звук квартой выше этой части.

Таким образом, если основной тон струны есть с и если взять 2/3 от 2/3 струны, т. е. 4/9 струны, то звук, соответствующий этой части струны, будет d1. Этот звук находится за пределами октавы с - с1. Взявши вместо его d, мы найдем, что последнему звуку соответствует 8/9 струны[3].

Если взять 2/3 от 8/9 струны, т. е. 16/27 струны, то звук, соответствующий той части струны, будет а.

Если взять 2/3 от 16/27 струны, т. е. 32/81 струны, то звук,, соответствующий этой части струны, будет е1. Этот звук находится за пределами октавы с - с1. Взявши вместо него е, мы найдем, что последнему звуку соответствует 64/81 струны.

Если взять 2/3 от 64/81 струны, т. е. 128/243 струны, то звук, соответствующий этой части струны, будет h. Если расположить все найденные нами звуки в порядке их высоты и подписать под ними соответствующие части струны, то мы получим диатоническую мажорную гамму пифагоровой настройки, в которой частотные отношения между звуками выражены в долях струны:

с d е f g a h c1

1 8/9 64/81 3/4 2/3 16/27 128/243 1/2

Если, исходя из основных интервалов пифагорова строя, двигаться от звука f по чистым квинтам вниз, производя при: этом соответствующие вычисления, то мы получим фригийскую гамму[4], ib которой частотные отношения между звуками выражены в долях струны:

с des es f g as b cl

1 243/256 27/32 3/4 2/3 81/128 9/16 1/2

Двигаясь по чистым квинтам вверх от звука А и по чистым квинтам вниз от звука des и производя соответствующие вычисления, мы придем в первом случае к звуку his, во втором — к звуку deses. Звук his на интервал 524288/531441?73/74 выше звука с1, а звук deses — на тот же интервал ниже звука с. Интервал, на который his выше cl, a deses ниже с получил название «пифагоровой коммы» (около 1/9 тона)[5]. Таким образом, строй Пифагора — незамкнутый.

Так как каждый интервал пифагорова строя получается посредством того или другого количества квинтовых ходов (вверх или вниз от исходного звука с последующими октавными перенесениями), то каждый интервал этого строя имеет только одно количественное выражение, так:

1) б. секунда, получаемая посредством двух квинтовых ходов, выражается отношением 8/9;

2) б. секста, получаемая посредством трех квинтовых ходов, выражается отношением 16/27;

3) б. терция, получаемая посредством четырех квинтовых ходов, выражается отношением 64/81;

4) диатонический полутон, получаемый посредством пяти квинтовых ходов, выражается отношением 243/256;

5) хроматический полутон, получаемый посредством семи квинтовых ходов, выражается отношением 2048/2187.

Так как 2048/2187 меньше 243/256 струны, то хроматический полутон пифагорова строя больше диатонического на пифагорову комму. Так как все интервалы пифагорова строя (за исключением октавы) являются производными от ч. квинты, то пифагоров строй есть строй однофакторный.

Трудно сказать, какое влияние оказал пифагоров строй на музыку древних греков, но его роль в деле развития средневековой музыки вполне ясна.

В средние века стал широко применяться в церковной музыке орган — многоголосный инструмент с фиксированной частотой звуков. Этот инструмент требовал настройки. Так как единственным строем, хорошо известным в те времена, был строй Пифагора, то орган стали настраивать в этом строе. Настройка органа в пифагоровом строе не представляет больших трудностей. Она осуществляется путем настройки чистых квинт (т. е, квинт без биений) вверх и вниз от исходного звука и перенесения этих квинт в пределы одной октавы.

Однако уже первые попытки игры на органе, настроенном в пифагоровом строе, показали, что гармоническая б. терция этого строя звучит слишком напряженно и непригодна поэтому в качестве терции мажорного тонического трезвучия (гармонического). Нужно думать, что эту напряженность в первую очередь заметили участники хора, которые, повидимому, придерживались натуральной б. терции. Причину напряженности пифагоровой б. терции найти не трудно. В пифагоровом строе б. терция получается посредством четырех ходов по ч. квинтам вверх и выражается отношением 64/81. Если выразить величину пифагоровой б. терции не долями струны, а числами колебаний, то окажется, что в этой терции верхнему звуку соответствует 81 колебание, а нижнему - 64. (С-Е в большой октаве при а=435 герц). Для б. терции с1-е1 отношение между числами колебаний будет 324/256 ((81/64)x(4/4)). Звуки б. терции с1-е1 имеют тон совпадения е3 (5-й частичный тон с1 совпадает с 4-м частичным тоном е1).

Число колебаний в секунду 5-го частичного тона =256.5= 1280, число колебаний в секунду 4-гочастичноготона=324x4=1296. При одновременном звучании обоих звуков б. терции с1-е1 интервал будет давать 16 биений в секунду (1296-1280=16). Эти биения и создают напряжение в гармонической пифагоровой б. терции.

Итак, попытка использовать пифагоров строй для настройки многоголосного музыкального инструмента с фиксированной частотой звуков вошла в противоречие с растущим гармоническим сознанием. Музыкальная практика требовала или отказа от гармонических терций вообще или замены их другими гармоническими б. терциями, приемлемыми для хора.

§ 2. Последним путем пошли Фольяни и Царлино, выдающиеся теоретики XVI века. Основываясь на работах Аристоксена, Птолемея и Дидима, они предложили брать для б. терции не 64/81, а 4/5 (64/80) струны, иначе говоря, рассматривать б. терцию, как основной, а не как производный интервал. Строй, полученный путем замены терции 64/81 терцией 4/5, получил название "чистого", так как б. терция 4/5 звучит без биений (чисто).

Выразим теперь в долях струны частотные соотношения между звуками, образующими диатоническую мажорную гамму чистого строя, например:

c d e f g a h c1

Если звуку с соответствует целая струна (1), то звуку е, образующему б. терцию со звуком с, будет соответствовать 4/5 струны; звуку а, образующему б. терцию со звуком f, 3/5 струны (4/5 от 3/4=3/5); звуку h, образующему б. терцию со звуком g,- 8/15 струны (4/5 от 2/3=8/15). Звукам f и g, образующим кварту и квинту со звуком с, и звуку d образующему кварту со звуком g, будет соответствовать, как и в строе Пифагора, 3/4, 2/3 и 8/9 струны.

Итак, звуки диатонической мажорной гаммы чистого строя в долях струны выразятся следующими отношениями:

c d e f g a h c

1 8/9 4/5 3/4 2/3 3/5 8/15 1/2

Взяв в качестве основного интервала б. терцию и рассуждая аналогичным образом, мы найдем, что звуки фригийской гаммы выразятся:

с des es f g as b cl

1 15/16 5/6 3/4 2/3 5/8 5/9 1/2

Если, двигаясь квинтовыми и терцовыми ходами, найти части струны, соответствующие звукам fis, cis, gis и т. д. до his включительно, и части струны, соответствующие звукам ges, ces, fes и т. д. до deses включительно, то окажется, что his ниже с1, a deses выше с. Действительно, звуку his, получаемому путем движения на 3 б. терции вверх от с (с-е- gis-his), будет соответствовать 64/125 струны (1Х4/5Х4/5Х 4/5) (звуку с1 соответствует 64/128, т. е. 1/2 струны). Звуку deses, получаемому путем движения на 3 б. терции вниз от с1 (с1-as-fes-deses), будет соответствовать 125/128 струны (1/2X5/4X5/4X5/4) (звуку с соответствует 128/128, т. е. целая струна).

Разница между his и с1, deses и с ? 1/5 части тона.

Таким образом, чистый строй, подобно пифагорову, есть строй незамкнутый.

Если исследовать все интервалы, входящие в состав приведенной выше диатонической мажорной гаммы чистого строя, то не трудно убедиться, что в этом строе некоторые одноименные интервалы на различных ступенях гаммы имеют различные интервальные коэфициенты.

Так:

1) квинты на 1, 3, 4, 5 и 6-й ступенях выражаются отношением 2/3 (c-g-2/3; e-h-8/5:4/5=2/3; f-с1-1/2:3/4=2/3; g-d1-4/9:2/3=2/3; а-е1- 2/5:3/5=2/3);

2) квинта на 2-й ступени d-а выражается отношением 27/40 (3/5:8/9=27/40);

3) м. терции на 3, 6-й и 7-й ступенях выражаются отношением 5/6 (e-g-2/3:4/5=5/6; а-с1-1/2:3/5=5/6; h-d1- 4/9:8/15=5/6);

4) м. терция на 2-й ступени d-f выражается отношением 27/32 (3/4:8/9=27/32);

5) б. секунда на 1, 4-й и 6-й ступенях выражается отношением 8/9 (c-d-8/9; f-g-2/3:3/4=8/9; a-h-8/15:3/5=8/9);.

6) б. секунда на 2-й и 5-й ступенях выражается отношением 9/10 (d-e-4/5:8/9=9/10; g-a-3/5:2/3=9/10).

Таким образом, в диатонической мажорной гамме чистого строя два интервальных коэфициента имеют:

квинта -2/3 и 27/40 (2/3=27/40X80/81)

кварта-3/4 и 20/27 (20/27=3/4X80/81)

м. терция - 5/5 и 27/32 (5/6=27/32X80/80)

б. свиста -3/5 и 16/27 (16/27=3/5X80/81)

б. секунда- 8/9 и 9/10 (8/9=9/10X80/81)

м. септима -9/16 и 5/9 (5/9=9/916X80/81).

Интервал 80/81, на который некоторые интервалы чистого строя больше или меньше соответствующих интервалов пифагорова строя, называется "дидимовой коммой". Дидимова комма ? 1/10 тона. На эту же комму, б. терция пифагорова строя больше чистой (64/81=5/4x80/81). Так как диатонический полутон, например, с - des, получается посредством ходов:

с - f - des

и выражается отношением 15/16 (3/4x5/4=15/16), а хроматический полутон, например, с - cis, получается посредством ходов:

с - f - а - cis1 - cis

и выражается отношением 24/25 (3/4x4/5x4/5x2) и так как дробь 24/25 больше 15/16, то звук сis (как соответствующий больщему отрезку струны) ниже звука des. Таким образом, в чистом строе диатонический полутон больше хроматического (см. строй Пифагора). Из всего вышеизложенного, можно сделать следующие выводы:

1. Замена пифагоровых терций чистыми сделала возможным применение в музыкальном искусстве гармонических мажорных и минорных трезвучий (тонических) и расширила область частотных интонаций (квинта 2/3 и 27/40, м. терция 5/и 27/32, б. секунда 8/9 и 9/10 и т. д.).

2. Указанная замена не создала строя, вполне соответствующего требованиям музыкальной практики, так как чистый строй оказался:

а) незамкнутым, т. е. лишенным энгармонизма;

б) неудобным для модуляции даже в ближайшие (от (C-dur) тональности;

в) требующим сложного устройства музыкальных инструментов с фиксированной частотой звуков.

Поясним изложенное в п.п. б и в.

Чтобы сделать модуляцию из C-dur в d-moll, необходимо иметь в качестве тоники лада чистое минорное трезвучие d - f - а. Этим трезвучием не может быть минорное трезвучие II ступени C-dur, так как оно состоит из «нечистой» квинты – d - a (27/40) и пифагоровой м. терции d - f (27/32), Чтобы сделать трезвучие d – f - а чистым, необходимо для звука d взять отношение 9/10 вместо 8/9, т.е. понизить его на дидимову комму 80/81. Таким образом, для совершения модуляции из C-dur в d-moll (и обратно) необходимо иметь 2 звука d, отличающихся, по частоте на дидимову комму. Один в качестве звука доминантового трезвучия C-dur другой в качестве звука тонического трезвучия d-moll. По тем же причинам для модуляции из F-dur в g-moll (и обратно) нужно иметь два «комматических звука» g, для модуляций из G-dur в a-moll нужно иметь два комматических звука а и т. д.

Для совершения модуляций во 2-ю степень родства потребуются новые комматические звуки. Таким образом, при широком пользовании модуляциями потребуется большое количества комматических звуков. Если, кроме того, принять во внимание, что в чистом строе не существует энгармонизма (fis не совпадает по высоте с ges), то для пользования чистым строем потребуется значительное количество звуков в пределах одной октавы до 85 звуков). Это обстоятельство значительно усложняет устройство музыкальных инструментов с фиксированной частотой звуков и делает весьма трудной игру на этих инструментах. Из всего вышеизложенного следует, что чистый строй представляет собой весьма сложный математический строй.

Музыкальное искусство, которое уже в первой половине XVII века начало широко пользоваться энгармонизмом, не могло удовлетвориться чистым строем, и он разделил участь пифагорова.

Итак, причиной, заставившей музыкальное искусство отказаться от чистого строя, было отсутствие в этом строе энгармонизма, иначе говоря, незамкнутость этого строя. Поэтому дальнейшая эволюция строев пошла по пути создания так называемых «темпераций»[6], т. е. таких математических строев, которые благодаря определенным частотным соотношениям между звуками являются замкнутыми. Так как музыкальное искусство не могло сразу отказаться от чистых квинт и чистых терций, преимущества которых перед терциями Пифагора были очевидны, то авторы темперации пытались разрешить задачу, исходя из чистых больших и малых терций и чистых квинт.

• Равномерные темперации
• Зонный строй

Информация о музыке:

Girl
Girl Когда глэм-рок уже практически вышел из моды, английский квинтет "Girl" сделал попытку восстановить интерес публики к этому стилю, что в какой-то мере ему удалось. Проект был основан в конце 70-х годов, когда повстречались театральный продюсер Фил Льюис и работник телевидения Джер ...

Станислав Нейгауз - педагог
Евгений Левитан . И ветер, жалуясь и плача, Раскачивает лес и дачу Не каждую сосну отдельно, А полностью все дерева Со всею долью беспредельной, Как парусников кузова На глади бухты корабельной. И это не из удальства, Или из яркости бесцельной, А чтоб в тоске найти слова Тебе для песни ...

Размышления у поворотного пункта
Николо Паганини. Столь беллетризованная фигура, каковой является «лучший скрипач Италии и, может быть, всего мира»[1], в качестве протагониста музыкально-научного опуса способна вызвать у представителей академического музыкознания разве что снисходительную улыбку. Между тем не так давно появилось ...